Autor: Alexander Constante

Funcionales LinealesFuncionales Lineales

Sea \(\rho\in\mathcal{C}[a,b]\) tal que \(\rho(t)>0\), para todo \(t\in[a,b]\). Consideremos el funcional: \[ \begin{array}{cccc} f: & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow & \mathbb{R}& \\ & x & \longmapsto & \displaystyle\int_{a}^b \rho(t)x(t) \, dt. \end{array} \] Pruebe que \(f\) es lineal, acotado en \((\mathcal{C}[a,b],||\cdot ||_\infty)\) y halle \(||f||\).

Análisis Matemático Material Nuevo

Funcionales LinealesFuncionales Lineales

Consideremos el espacio \(( \mathbb{K}^n,|| \cdot ||_2 )\), con \(n\geq2\), y \(a\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\}\), para cada \(x = (x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{K}^n\) consideremos el funcional \[ \begin{array}{cccc} f_a: & \mathbb{K} & \longrightarrow & \mathbb{R}& \\ & x & \longmapsto & f_a(x)&=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k x_k. \end{array} \] Pruebe que \(f\) es lineal, acotado y que \(||f||=||a||_2 \).

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Demostraciones de normasDemostraciones de normas

Sean \((E,||\cdot||_E)\), \((F,||\cdot||_F)\) dos espacios vectoriales normados sobre \(\mathbb{K} \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C }\} \), \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\), \((v_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión de \(F\), \(a \in E\) y \(b\in F\) y \(p\in ]0,+\infty[\). Para \((u,v) \in (E \times F)\) se define \[ ||(u,v)||_p = \sqrt[p]{||u||_E^p + ||v||_F^p}. \] Pruebe que \[ ||(u_n […]

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IsomorfismosIsomorfismos

Sean \(a,b \in \mathbb{R}\) con \(a<b\), tome \(E_1 = [0,1], \; E_2=[1,3]\) y \(E = [a,b]\). Considere el espacio \((E,|\cdot |)\), determine métricas \(d_1\) y \(d_2\) sobre \(E_1\) y \(E_2\), respectivamente, tales que \((E_1,d_1)\) sea isomorfo a \((E,|\cdot |)\) y \((E_2,d_2)\) sea isomorfo a \((E,|\cdot |)\).

Análisis Matemático Material Extra

Espacios Métricos CompletosEspacios Métricos Completos

Suponga conocido que \((\mathbb{R},d)\) es un espacio completo. Pruebe que \((\mathbb{R}^2,d_2)\) es un espacio completo. Suponga conocido que \((\mathbb{R},d)\) es completo. Pruebe que \( (\ell^\infty,d_\infty )\) es completo, donde \[ \ell^\infty = \{ (x_n)_{n\in \mathbb{N} } \in \mathbb{R}^N : (x_n) \text{ es acotada} \} \] y, para \((x_n)_{n\in \mathbb{N}},(y_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \ell^\infty\), \[ d_\infty (x_n […]

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