Demostraciones de normasDemostraciones de normas

Sean \((E,||\cdot||_E)\), \((F,||\cdot||_F)\) dos espacios vectoriales normados sobre \(\mathbb{K} \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C }\} \), \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\), \((v_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión de \(F\), \(a \in E\) y \(b\in F\) y \(p\in ]0,+\infty[\). Para \((u,v) \in (E \times F)\) se define \[ ||(u,v)||_p = \sqrt[p]{||u||_E^p + ||v||_F^p}. \] Pruebe que \[ ||(u_n […]

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Ecuación de la onda unidimensionalEcuación de la onda unidimensional

Sean $$L>0,\qquad c>0,\qquad u:[0,L]\times[0,+\infty[\to\mathbb{R}\quad \text{y}\quad \, f:[0,L]\to\mathbb{R}$$ tales que $$u\in \mathcal{C}^2\big([0,L]\times\left[0,+\infty\right[\big)\quad \text{y}\quad f\in \mathcal{C}([0,L]). $$ El objetivo de esta ejercicio es hallar la solución de la ecuación de la onda unidimensional con las condiciones mixtas siguientes: $$ (P)\quad\begin{cases}u_{tt}(x,t)=c^2u_{xx}(x,t), & (x,t)\in[0,L]\times\left[0,+\infty\right[, \\ u(0,t)=0,\quad u_x(L,t)=0, & t\geq 0,\\ u(x,0)=f(x), \quad u_t(x,0)=0, &0\leq x\leq L.\end{cases}$$ La solución de […]

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Demostraciones de normasDemostraciones de normas

Ejercicio 1 Sean \(p\in \left[1,+\infty \right[\) y \(n\in \mathbb{N}^*\). Pruebe que, en \( \mathbb{K}^n\), \(\|\cdot\|_p\) es una norma, donde \[ \|x\|_p = \sqrt[p]{\sum{k=1}^n |x_k|^p}\] para \(x\in \mathbb{K} ^n\). Ejercicio 2 Sean \(p\in \left[1,+\infty \right[\) y \(n\in \mathbb{N}^*\). Pruebe que, en \( \mathbb{K}^n\), \(\|\cdot\|_p\) es una norma, donde \[ \|x\|_p = \max_{1\leq k \leq n} |x_k|\] […]

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