¿Sabía qué?¿Sabía qué?
21 de junio del 2020¿Sabía qué?
Demuestre que \[\frac{1}{1+2}+ \frac{1}{1+2+3}+ \frac{1}{1+2+3+4}+ \cdots = 1.\]
Demuestre que \[\frac{1}{1+2}+ \frac{1}{1+2+3}+ \frac{1}{1+2+3+4}+ \cdots = 1.\]
Sean \(E = { x \in \mathcal{C}[a,b]: x’ \in \mathcal{C}[a,b] }\) con la norma \(||x| =||x||_\infty +||x’||_\infty\) par \(x\in E\) y \(c \in ]a,b[\). Pruebe si los siguientes operadores son lineales y acotados: $$\begin{array}{ll} \begin{array}{ccl} T_1\colon & E &\longrightarrow &E\\ & x & \longmapsto & x'(c)\cdot x;\end{array} & \begin{array}{ccl} T_2\colon & E &\longrightarrow &E\\ & […]
Pruebe que para todo \( x\in \mathbb{R}^n \) se tiene que \( \frac{1}{\sqrt{n}} ||x||_1 \leq ||x||_2 \leq ||x||_1. \)
Ejercicio Demostrar que no existe una función \(f\colon \mathbb R\to\mathbb R\), derivable, tal que \(f(f(x)) = \cos(x)\) para todo \(x\in\mathbb R\).
Sean $$L>0,\qquad c>0,\qquad u:[0,L]\times[0,+\infty[\to\mathbb{R}\quad \text{y}\quad \, f:[0,L]\to\mathbb{R}$$ tales que $$u\in \mathcal{C}^2\big([0,L]\times\left[0,+\infty\right[\big)\quad \text{y}\quad f\in \mathcal{C}([0,L]). $$ El objetivo de esta ejercicio es hallar la solución de la ecuación de la onda unidimensional con las condiciones mixtas siguientes: $$ (P)\quad\begin{cases}u_{tt}(x,t)=c^2u_{xx}(x,t), & (x,t)\in[0,L]\times\left[0,+\infty\right[, \\ u(0,t)=0,\quad u_x(L,t)=0, & t\geq 0,\\ u(x,0)=f(x), \quad u_t(x,0)=0, &0\leq x\leq L.\end{cases}$$ La solución de […]
Ejercicio 1 Sean \(p\in \left[1,+\infty \right[\) y \(n\in \mathbb{N}^*\). Pruebe que, en \( \mathbb{K}^n\), \(\|\cdot\|_p\) es una norma, donde \[ \|x\|_p = \sqrt[p]{\sum{k=1}^n |x_k|^p}\] para \(x\in \mathbb{K} ^n\). Ejercicio 2 Sean \(p\in \left[1,+\infty \right[\) y \(n\in \mathbb{N}^*\). Pruebe que, en \( \mathbb{K}^n\), \(\|\cdot\|_p\) es una norma, donde \[ \|x\|_p = \max_{1\leq k \leq n} |x_k|\] […]
Sean \(a,b \in \mathbb{R}\) con \(a<b\), tome \(E_1 = [0,1], \; E_2=[1,3]\) y \(E = [a,b]\). Considere el espacio \((E,|\cdot |)\), determine métricas \(d_1\) y \(d_2\) sobre \(E_1\) y \(E_2\), respectivamente, tales que \((E_1,d_1)\) sea isomorfo a \((E,|\cdot |)\) y \((E_2,d_2)\) sea isomorfo a \((E,|\cdot |)\).
Sean \((E,d)\) un espacio métrico, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x\in E\). Demuestre que si \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) es una sucesión de Cauchy y posee una subsucesión convergente a \(x\), entonces \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) converge a \(x\).
Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \( A\subseteq E\) no vacío. Pruebe que \(A\) es un conjunto abierto si y solo si es la unión de bolas abiertas.