Categoría: Análisis Matemático

Funcionales LinealesFuncionales Lineales

Sea \(\rho\in\mathcal{C}[a,b]\) tal que \(\rho(t)>0\), para todo \(t\in[a,b]\). Consideremos el funcional: \[ \begin{array}{cccc} f: & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow & \mathbb{R}& \\ & x & \longmapsto & \displaystyle\int_{a}^b \rho(t)x(t) \, dt. \end{array} \] Pruebe que \(f\) es lineal, acotado en \((\mathcal{C}[a,b],||\cdot ||_\infty)\) y halle \(||f||\).

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Funcionales LinealesFuncionales Lineales

Consideremos el espacio \(( \mathbb{K}^n,|| \cdot ||_2 )\), con \(n\geq2\), y \(a\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\}\), para cada \(x = (x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{K}^n\) consideremos el funcional \[ \begin{array}{cccc} f_a: & \mathbb{K} & \longrightarrow & \mathbb{R}& \\ & x & \longmapsto & f_a(x)&=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k x_k. \end{array} \] Pruebe que \(f\) es lineal, acotado y que \(||f||=||a||_2 \).

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Operadores lineales y acotadosOperadores lineales y acotados

Sean \(E = { x \in \mathcal{C}[a,b]: x’ \in \mathcal{C}[a,b] }\) con la norma \(||x| =||x||_\infty +||x’||_\infty\) par \(x\in E\) y \(c \in ]a,b[\). Pruebe si los siguientes operadores son lineales y acotados: $$\begin{array}{ll} \begin{array}{ccl} T_1\colon & E &\longrightarrow &E\\ & x & \longmapsto & x'(c)\cdot x;\end{array} & \begin{array}{ccl} T_2\colon & E &\longrightarrow &E\\ & […]

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Continuidad de la normaContinuidad de la norma

Ejercicio Considere \((E,\|\cdot\|)\) un espacio normado y \((\mathbb R,d)\) el espacio métrico de los reales con la norma usual. Definamos, para \(x,y\in E\), \(d(x,y) = \|x-y\|\) con lo cual \((E,d)\) es un espacio métrico. Pruebe que $$ {\begin{array}{r@{\,}ccl} \|\cdot\| \colon & E & \longrightarrow & \mathbb R \\ & x & \longmapsto & \displaystyle \|x\| […]

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Espacios normadosEspacios normados

Sean \( (E,||\cdot||) \) un espacio vectorial normado, \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \), \( (y_n)_{n\in\mathbb{N}} \) dos sucesiones de (\ E \) y \( x,y \in E\). Si \( x_n \rightarrow x \quad \text{y}\quad y_n \rightarrow y, \) entonces \( x_n + y_n \rightarrow x + y.\)

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Demostraciones de normasDemostraciones de normas

Sean \((E,||\cdot||_E)\), \((F,||\cdot||_F)\) dos espacios vectoriales normados sobre \(\mathbb{K} \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C }\} \), \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\), \((v_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión de \(F\), \(a \in E\) y \(b\in F\) y \(p\in ]0,+\infty[\). Para \((u,v) \in (E \times F)\) se define \[ ||(u,v)||_p = \sqrt[p]{||u||_E^p + ||v||_F^p}. \] Pruebe que \[ ||(u_n […]

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