Clausura y derivado de un conjunto

En el siguiente enlace podrás encontrar la solución de los siguientes ejercicios:
Ejercicio 1
Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(M’ \) es cerrado.
Ejercicio 2
Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(\overline{M}\) es cerrado.
Ejercicio 3
Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(M\) es cerrado si y solo si \(M’ \subseteq M\).
Ejercicio 4
Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(M\) es cerrado si y solo si \(\overline{M} = M\).
Ejercicio 5
Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(a \in \overline{M}\) si y solo si para todo \(r>0\), \(B(a,r)\) contiene al menos un punto de \(M\).
Ejercicio 6
Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq E\). Demuestre que si \( A \subseteq B \) , entonces \( A’ \subseteq B’ \) y, por ende, \(\overline{A} \subseteq \overline{B} \) .
Ejercicio 7
Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(M,F\subseteq E\). Demuestre que si \(F\) es cerrado y \(M \subseteq F\), entonces \(\overline{M} \subseteq F\).
Ejercicio 8
Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq M\). Demuestre que \(\overline{A \cup B} = \overline {A} \cup \overline {B}\).
Ejercicio 9
Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq M\). Demuestre que \(\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}\).
Ejercicio 10
Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq M\). Demuestre que, en general, no se tiene que \(\overline{A} \cap \overline{B} \subseteq \overline{A \cap B} \).
Etiquetas: Análisis Metemático, Clausura