Clausura y derivado de un conjunto

En el siguiente enlace podrás encontrar la solución de los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1

Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(M’ \) es cerrado.

Ejercicio 2

Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(\overline{M}\) es cerrado.

Ejercicio 3

Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(M\) es cerrado si y solo si \(M’ \subseteq M\).

Ejercicio 4

Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(M\) es cerrado si y solo si \(\overline{M} = M\).

Ejercicio 5

Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(a \in \overline{M}\) si y solo si para todo \(r>0\), \(B(a,r)\) contiene al menos un punto de \(M\).

Ejercicio 6

Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq E\). Demuestre que si \( A \subseteq B \) , entonces \( A’ \subseteq B’ \) y, por ende, \(\overline{A} \subseteq \overline{B} \) .

Ejercicio 7

Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(M,F\subseteq E\). Demuestre que si \(F\) es cerrado y \(M \subseteq F\), entonces \(\overline{M} \subseteq F\).

Ejercicio 8

Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq M\). Demuestre que \(\overline{A \cup B} = \overline {A} \cup \overline {B}\).

Ejercicio 9

Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq M\). Demuestre que \(\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}\).

Ejercicio 10

Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq M\). Demuestre que, en general, no se tiene que \(\overline{A} \cap \overline{B} \subseteq \overline{A \cap B} \).