Sucesiones por métricas equivalentes



Sean \(E \neq \emptyset \) dotado de dos métricas equivalentes \( d_1 \) y \( d_2 \) , \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de \( E \) y \( x \in E \) . Demuestre que:

  • \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) es acotada en \( (E,d_1) \) si y solo si \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) es acotada en \( (E,d_2) \) ;
  • \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) es de Cauchy en \( (E,d_1) \) si y solo si \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) es de Cauchy en \((E,d_2) \) ;
  • \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) converge hacia \( x \) en \( (E,d_1) \) si y solo si \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) converge hacia \( x \) en \( (E,d_2) \) .
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