Cardinalidad del álgebra de Borel



Ejercicio

Sea \(\mathcal{B}\) la \(\sigma\)-álgebra de Borel de \(\mathbb R\). Demuestre que \(\mathcal{B}\) tiene la cardinalidad del continuo, es decir, \[ |\mathcal{B} |=2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}.\]

Para la resolución de este ejercicio, se demuestra la siguiente caracterización de una \(\sigma\)-álgebra generada:

Proposición

Sean \( \Omega \) un conjunto no vacío y \( \mathcal{C}\subseteq\mathcal{P} (\Omega) \) tal que \( \{\emptyset,\Omega\}\subseteq \mathcal{C} \). Se define:

  • \( \mathcal{A} _0 = \mathcal{C} \),
  • \( \displaystyle\mathcal{A} _{\alpha+1} = \mathcal{A} _\alpha \cup \left\{A^c: A\in \mathcal{A} _\alpha\right\} \cup\left\{\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n: \{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq \mathcal{A} _\alpha\right\} \) para \( \alpha \) un número ordinal,
  • \( \displaystyle \mathcal{A} _{\lambda} = \bigcup_{\alpha < \lambda} \mathcal{A} _{\alpha} \) para \( \lambda \) un número ordinal límite diferente de \( 0\).

Se tiene que \( \mathcal{A} _{\omega_1} = \sigma( \mathcal{C} ) \).

Etiquetas: , ,

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *