Espacios Métricos Completos



  • Suponga conocido que \((\mathbb{R},d)\) es un espacio completo. Pruebe que \((\mathbb{R}^2,d_2)\) es un espacio completo.
  • Suponga conocido que \((\mathbb{R},d)\) es completo. Pruebe que \( (\ell^\infty,d_\infty )\) es completo, donde \[ \ell^\infty = \{ (x_n)_{n\in \mathbb{N} } \in \mathbb{R}^N : (x_n) \text{ es acotada} \} \] y, para \((x_n)_{n\in \mathbb{N}},(y_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \ell^\infty\), \[ d_\infty (x_n , y_n) = \sup \{ |x_k – y_k| : k \in \mathbb{N} \}. \]

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