Espacios métricos separables



Sean \(a,b\in\mathbb{R} \) tales que \(a<b\) y consideremos \( (\mathcal{B}[a,b], d_\infty) \), el espacio de las funciones reales acotadas definidas sobre \([a,b]\) con la norma del supremo. Pruebe que \((\mathcal{B}[a,b], d_\infty)\) no es separable.

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2 thoughts on “Espacios métricos separables”

  1. Adrián Enríquez dice:

    Estimados,

    Estuve leyendo la demostración del teorema y en la ultima parte no entendí el porque se dice que el conjunto \(\{g_{t}: t\in[a,b]\}\) es no numerable. Espero que por favor me respondan esa duda.
    Gracias de antemano por su dedicación en compartir con todos estos ejercicios acerca del Análisis Matemático

    1. Andrés Merino dice:

      Hola. Nos da gusto que el material te sea de utilidad. En la última parte, se demuestra que si \(r\neq s\), entonces \(g_r\neq g_s\), esto implica la función \(r\mapsto g_r\) es inyectiva, por lo tanto, \(\{g_{t}: t\in[a,b]\}\) tiene al menos tantos elementos como \([a,b]\), por lo tanto, no es numerable.

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