Sucesiones



Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\). Pruebe que:

  • Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es convergente entonces \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy;
  • Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy entonces \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es acotada.

Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\). Pruebe que:

  • Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es acotada, no necesariamente \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy.
  • Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy, no necesariamente \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es convergente.
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