Sucesiones

Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\). Pruebe que:

• Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es convergente entonces \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy;
• Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy entonces \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es acotada.

Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\). Pruebe que:

• Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es acotada, no necesariamente \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy.
• Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy, no necesariamente \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es convergente.