En \(\mathbb{R}^2\) considere \(v_1=(1,1)\) y \(v_2=(1,-1)\). Halle el mayor \(c>0\) tal que \[ \left | \left | \displaystyle \sum_{k=1}^2\alpha_k v_k \right | \right | \geq c || \alpha||_1\] para todo \(\alpha\in\mathbb{R}^2\).
Sea \( (E,d) \) un espacio métrico. Pruebe que si \( T: E \rightarrow E \) es una contracción definida en \( (E,d) \) entonces \( T \) es continua.
Sean \(a,b \in \mathbb{R}\) con \(a<b\), tome \(E_1 = [0,1], \; E_2=[1,3]\) y \(E = [a,b]\). Considere el espacio \((E,|\cdot |)\), determine métricas \(d_1\) y \(d_2\) sobre \(E_1\) y \(E_2\), respectivamente, tales que \((E_1,d_1)\) sea isomorfo a \((E,|\cdot |)\) y \((E_2,d_2)\) sea isomorfo a \((E,|\cdot |)\).
Para \( x , y \in \mathbb{R} \), sea \( d(x,y) = |\arctan (x) – \arctan (y)|\). Pruebe que \( (\mathbb{R},d) \) es un espacio métrico incompleto.
En \( \mathbb{N}^{*} \), consideremos la métrica dada por: \( \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{R} \) \( (m,n) \mapsto d(m,n)=| \frac{1}{m}-\frac{1}{n}| \). Pruebe que \( (\mathbb{N}^{*},d) \) es un espacio métrico incompleto.
En \((\ell^\infty,d_\infty)\), sea \[ M=\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in\ell^\infty: (\exists n\in\mathbb{N})(\forall k > n)(x_k=0)\}, \] pruebe que \((M,d_\infty)\) no es completo.
Sean \((E,d_1)\) y \( (F,d_2) \) espacios métricos, y \(f\colon{E}\to{F} \) una función continua y sobreyectiva. Demostrar que si \( A \) es denso en \( E \) , entonces \( f(A) \) es denso en \( F \) .
Sean \((E,d_E),(F,d_F)\) dos espacios métricos y \(f:E\rightarrow F\) una función. Si \(d_E\) es la métrica discreta, entonces \(f\) es continua.
Sean \(E \neq \emptyset \) dotado de dos métricas equivalentes \( d_1 \) y \( d_2 \) , \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de \( E \) y \( x \in E \) . Demuestre que: \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) es acotada en \( (E,d_1) \) si y solo si \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) es acotada en […]
